（1）已知z为虚数，z+9z-2为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；（2）已知w=z+i（z∈C），且z-2z+2为纯虚数，求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值．

Question

（1）已知z为虚数， z+(9)/(z-2) 为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）已知w=z+i（z∈C），且 (z-2)/(z+2) 为纯虚数，求M=|w+1| ² +|w-1| ² 的最大值及M取最大值时w的值．

Answer 1

（1）z为虚数且z-2为纯虚数，可设z=2+bi（b∈R，b≠0）
又 z+(9)/(z-2) =2+bi+ (9)/(bi) =2+bi- (9)/(b) i=2+（b- (9)/(b) ）i为实数，
所以b- (9)/(b) =0，b=±3
所以z=2±3i．
（2）设z=a+bi（a，b∈R，）
则 (z-2)/(z+2) = ((a-2)+bi)/((a+2)+bi) = (( a2 + b2 -4)+4bi)/((a+2)2 + b2)
由于 (z-2)/(z+2) 为纯虚数，所以

(( a2 + b2 -4))/((a+2)2 + b2)  =0

(4b)/((a+2)2 + b2) ≠0

即a ² +b ² =4，且b≠0．①
∴M=|w+1| ² +|w-1| ² =（a+1） ² +（b+1） ² +（a-1） ² +（b+1） ²
=2（a ² +b ² ）+4b+4
=12+4b
由①可得出b∈[-2，2]且b≠0，所以b的最大值为2，从而M的最大值为20．
此时a=0，w=z+i=2i+i=3i．