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(1)已知z为虚数,z+9z−2为实数,若z-2为纯虚数,求虚数z;(2)已知w=z+i(z∈C),且z−2z+2为纯虚数,求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值.
题目详情
(1)已知z为虚数,z+
为实数,若z-2为纯虚数,求虚数z;
(2)已知w=z+i(z∈C),且
为纯虚数,求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值.
9 |
z−2 |
(2)已知w=z+i(z∈C),且
z−2 |
z+2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)z为虚数且z-2为纯虚数,可设z=2+bi(b∈R,b≠0)
又z+
=2+bi+
=2+bi-
i=2+(b-
)i为实数,
所以b-
=0,b=±3
所以z=2±3i.
(2)设z=a+bi(a,b∈R,)
则
=
=
由于
为纯虚数,所以
即a2+b2=4,且b≠0.①
∴M=|w+1|2+|w-1|2=(a+1)2+(b+1)2+(a-1)2+(b+1)2
=2(a2+b2)+4b+4
=12+4b
由①可得出b∈[-2,2]且b≠0,所以b的最大值为2,从而M的最大值为20.
此时a=0,w=z+i=2i+i=3i.
又z+
9 |
z−2 |
9 |
bi |
9 |
b |
9 |
b |
所以b-
9 |
b |
所以z=2±3i.
(2)设z=a+bi(a,b∈R,)
则
z−2 |
z+2 |
(a−2)+bi |
(a+2)+bi |
(a2+b2−4)+4bi |
(a+2)2+b2 |
由于
z−2 |
z+2 |
|
即a2+b2=4,且b≠0.①
∴M=|w+1|2+|w-1|2=(a+1)2+(b+1)2+(a-1)2+(b+1)2
=2(a2+b2)+4b+4
=12+4b
由①可得出b∈[-2,2]且b≠0,所以b的最大值为2,从而M的最大值为20.
此时a=0,w=z+i=2i+i=3i.
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