已知复数集合D,复数z属于D,当且仅当模为1的复数z1,使得z-2005-2006i]=[z1平方+1-2z1平方(为绝对值）,则D中实部和虚部都为整数的复数个数为（49)请说明一下思路,

Question

已知复数集合D,复数z属于D,当且仅当模为1的复数z1,使得【z-2005-2006i]=[z1平方+1-2z1平方】(为绝对值）,则D中实部和虚部都为整数的复数个数为（49)请说明一下思路,

Answer 1

设z=a+bi,z1=cost+i*sint
若|z-2005-2006i|=|z1^2+1-2z1|
则(a-2005)^2+(b-2006)^2
=|z1^2+1-2z1|^2=|cost-1+i*sint|^4
=[(cost-1)^2+(sint)^2]^2
=4(1-cost)^2∈[0,8]
a-2005=0
b-2006=0,±1,±2
a-2005=±1
b-2006=0,±1,±2
a-2005=±2
b-2006=0,±1,±2
D中实部和虚部都为整数的复数个数为25
若|z-2005-2006i|=|z1^2+1-2z1|
则(a-2005)^2+(b-2006)^2
=|z1^2+1-2z1^2|^2
=|1-z1^2|^2
=|(1-z1)|^2*|(1+z1)|^2
=[(1-cost)^2+(sint)^2]*[(1+cost)^2+(sint)^2]
=4(1-cost)(1+cost)
=4(sint)^2
∈[0,4]
a-2005=0,
b=0,±1,±2
a-2005=±1
b-2006=0,±1,
a-2005=±2
b-2006=0,
D中实部和虚部都为整数的复数个数为13
题目肯定抄错,但解题方法已经在上面了