一质量均匀分布的细棒,质量为m,长度为L,相对通过其中心且与棒垂直的转轴的转动惯量等于多少?而相对其端点且与棒垂直的转轴的转动惯量等于多少?

Question

一质量均匀分布的细棒,质量为m,长度为L,相对通过其中心且与棒垂直的转轴的转动惯量等于多少?而相对其端点且与棒垂直的转轴的转动惯量等于多少?

Answer 1

不管是哪种情况,求转动惯量的方法是一样的,用积分.
一、设相对通过其中心且与棒垂直的转轴的转动惯量是　I1,单位长度的质量是m0（m0＝m / L ）
由于棒的两边对中间轴是对称的,所以
I1＝2 * ∫ （m0*r^2 ）dr　　,r 的积分区间是从0到（L / 2）
得　I1＝2*m0*r^3 / 3
将对应的积分区间代入上式,得　I1＝2*m0*( L / 2 )^3 / 3＝m * L^2 / 12
二、设相对其端点且与棒垂直的转轴的转动惯量是　I2
则　I2＝∫ （m0*r^2 ）dr　　,r 的积分区间是从0到 L
得　I2＝m0*r^3 / 3
将对应的积分区间代入上式,得　I2＝m0*L^3 / 3＝m*L^2 / 3