大学物理题,若电荷均匀地分布在长为L的细棒上,求证：（1）在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为E=1/(πε.)*Q/(4r²-L²)(2)在棒的垂直平分线上,离棒为r处的电场强度为E=1/(2πε.r)*Q/(

Question

大学物理题,
若电荷均匀地分布在长为L的细棒上,求证：
（1）在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为E=1/(πε.)* Q/(4r²-L²)
(2)在棒的垂直平分线上,离棒为r处的电场强度为
E=1/(2πε.r)*Q/(4r²+L²)½
若棒为无限长（即L趋于∞）,试将结果与无限长均匀带有直线的电场强度相比较
PS（请给出具体解法,题中r²表示r的二次方）

Answer 1

（1）设电荷密度为ρ
dE=ρdr/4πε(r-L/2)^2
E=∫ρdr/4πε(r-L/2)^2=ρ/4πε(L/2-r)|从r积到r+L
E=ρL/πε(4r²-L²),Q=ρL
换一下就可以了
（2）这个最好是用三角的积分
我这里给你一个在任意r处的场强 不只是中线上的
设棒最上端与点r的连线与棒的夹角为θ1,下端的夹角为θ2
dl=rdθ/sin^2θ
E=ρ/4πε*[∫dl/(r/sinθ)^2*(sinθ(i)+cosθ(j))+∫dl/(r/sinθ)^2*(sinθ(i)+cosθ(-j)]|从各自的θ积分积到π/2
积分的结果是
E=ρ/（4πε*r）*[（cosθ1+cosθ2）(i)+(sinθ2-sinθ1)(j)]（i j 是方向向量 计算积分的时候一定要带上）
中线上 sinθ2-sinθ1=0,cosθ1+cosθ2=2cosθ1
因此 化简为E=ρ*cosθ1/2πεr（这个是大小 省略方向向量）
然后cosθ=L/2/sqrt(r^2+(L/2)^2)带入即可
（注意：Q=ρL）
而无穷长导线就是θ1=θ2=0,cosθ=1因此为
ρ/2πε*r
这个和直接用高斯定理算出来的一致