在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（-1，0），B（1，0）的距离之和为22．（Ⅰ）求曲线在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（-1，0），B（1，0）的距离

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1上的任意一点到点A（-1，0），B（1，0）的距离之和为22．（Ⅰ）求曲线
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁上的任意一点到点A（-1，0），B（1，0）的距离之和为2√(2)．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程；
（Ⅱ）设椭圆C₂：x²+(3y2)/(2)=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C₂于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C₁于点N．
（i）求证：|MN|的最小值为√(2)；
（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

满分（13分）．
（Ⅰ）由椭圆定义可知曲线C₁的轨迹是椭圆，
设C₁的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，a＞b＞0，
所以2a=2√(2)，c=1，则b=1，
故C1 的方程(x2)/(2)+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）（ⅰ） 证明：当k=0，M为C₂长轴端点，
则N为C₁短轴的端点，|MN|=√(2)．…（4分）
当k≠0时，设直线OM：y=kx，代入x²+(3y2)/(2)=1，
整理得（2+3k 2 ）x²=2，即x²=(2)/(2+3k2)，y²=(2k2)/(2+3k2)，
所以|OM|²=x²+y²=(2+2k2)/(2+3k2)．…（6分）
又由已知OM⊥ON，设ON：y=-(1)/(k)x，同理解得|ON|²=(2+2k2)/(2+k2)，…（7分）
所以|MN|²=|OM|²+|ON|²=(2+2k2)/(2+3k2)+(2+2k2)/(2+k2)
=（2+2k²）?(4+4k2)/((2+3k2)?(2+k2))，…（8分）
又|MN|²-2=(8(1+k2)2-2(2+3k2)?(2+k2))/((2+3k2)?(2+k2))
=(2k4)/((2+3k2)?(2+k2))＞0，
所以|MN|的最小值为√(2)．…（9分）
（ⅱ）存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆．
设Rt△MON斜边上的高为h，由（Ⅱ）（ⅰ）得当k=0时，h=(√(2))/(2)，…（10分）
当k≠0时，|OM|?|ON|=√((2+2k2)/(2+3k2))?√((2+2k2)/(2+k2))，
又|MN|=√((2+2k2)?(4+4k2)/((2+3k2)?(2+k2)))，…（12分）
由|MN|?h=|OM|?|ON|，得h=(|OM|?|ON|)/(|MN|)=(√(2))/(2)，
故存在以原点为圆心，半径为√(2)且与直线MN相切的圆，
圆方程为x2+y2=(1)/(2)．…（13分）