若正三棱柱ABC-A'B'C'的棱长均为a,求异面直线AB'与BC'所成角的余弦值

Question

若正三棱柱ABC-A'B'C'的棱长均为a,求异面直线AB'与BC'所成角的余弦值

Answer 1

连结B'C交BC'于点D,作AC中点E,连结DE、BE
由题意可知侧面四边形BCC'B'是正方形
那么：点D是B'C的中点且BD=BC'/2=(根号2)a/2
又点E是AC中点,则在△AB'C中：中位线DE//AB'
所以：∠EDB就是AB'与BC'所成角或其补角
且DE=AB'/2=(根号2)a/2
在底面正三角形ABC中,易得：底边上的高BE=(根号3)a/2
所以在△BDE中,由余弦定理有：
cos∠EDB=(DE²+DB²-BE²)/(2DE*DB)
=(a²/2 + a²/2 - 3a²/4)/[2*(根号2)a/2 *(根号2)a/2]
=(a²/4)/(a²)
=1/4