已知如图（1），正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足CECA=CFCB=k，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．（Ⅰ）证明AB∥平面DEF；（Ⅱ）求二

Question

已知如图（1），正三角形ABC 的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足(CE)/(CA)=(CF)/(CB)=k，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．
（Ⅰ） 证明AB∥平面DEF；
（Ⅱ） 求二面角B-AC-D的平面角的正切值；
（Ⅲ） 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为(√(2))/(4)，求k的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AC、BC上的点，且满足(CE)/(CA)=(CF)/(CB)；
∴AB∥EF；
∵AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF；
∴AB∥平面DEF；
（Ⅱ） 过D点作DG⊥AC于G，连结BG；

∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角；
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD；
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC；
∴AC⊥DG，AC⊥BD；
∴AC⊥平面BGD；
∴BG⊥AC；
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角；
在RtADC中，AD=a，DC=√(3)a，AC=2a，∴DG＝(AD•DC)/(AC)＝(√(3)a2)/(2a)＝(√(3)a)/(2)；
在Rt△BDG中，tan∠BGD＝(BD)/(DG)＝(a)/((√(3)a)/(2))＝(2√(3))/(3)；
（Ⅲ）∵AB∥EF，∴∠DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角；
∵(CE)/(CA)＝(CF)/(CB)＝k，CA=CB=2a；
∴CE=CF=2ak，又∠ECD=∠FCD；
∴△CED≌△CFD；
∴DE=DF=√(CE2+CD2−2CE•CD•cos∠ECD)=√(4a2k2+3a2−4√(3)a2k•(√(3)a)/(2a))=a•√(4k2−6k+3)
∵(CE)/(CA)=(CF)/(CB)=k；
∴(EF)/(AB)＝k，AB＝√(2)a；
∴EF＝√(2)ak；
∴在△DEF中，cos∠DEF=(DE2+EF2−DF2)/(2DE•EF)＝(EF)/(2DE)=(√(2)ak)/(2a•√(4k2−6k+3))＝(√(2))/(4)；
∴解得k＝(1)/(2)．