菱形的一个角在120°~180°之间,以这个角为顶点的菱形内接正三角形有几个?分别在什么位置?要推理步骤,

Question

菱形的一个角在120°~180°之间,以这个角为顶点的菱形内接正三角形有几个?分别在什么位置?要推理步骤,

Answer 1

不好意思,我不知道怎么画图在这里.
应用余弦定理可得.
设菱形边长为a,三角形其中一个定点距菱形定点为x,另一个为y,菱形另一个角为A,解方程组：
a^2＋x^2-2axcosA=(a-x)^2+(a-y)^2-2(a-x)(a-y)cos(180-A).(1)
a^2+x^2-2axcosA=a^2+y^2-2aycos(180-A).(2)
化简（2）得x＝y或x+y-2acosA=0,
化简（1）得3a^2-2a(x+y)-2aycosA+xycosA=0,（此式可求出两解,其中一个负值舍去）
又因为
x、y地位一样,轮换一下,就是所以存在三个点,解出就是位置的答案
1、x=y=[2a+acosA+sqrt(4+cosA+cosA^2)]/cosA
2、x=sqrt(3a^2/cosA-4cosAa^2),y=2acosA-x=sqrt(3a^2/cosA-4cosAa^2),
3、y=sqrt(3a^2/cosA-4cosAa^2),x=2acosA-x=sqrt(3a^2/cosA-4cosAa^2),
不知道算对没有,但方法没错,请提问者验算一下
说明：a^2,表示a的平房,sqrt（）,表示括号内数的开方.