有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=12∠D，∠C=12∠A，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上

Question

有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=(1)/(2)∠D，∠C=(1)/(2)∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．

Answer 1

（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=(1)/(2)∠D，∠C=(1)/(2)∠A，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴3∠B+3∠C=360°，
∴∠B+∠C=120°，
即∠B与∠C的度数和为120°；

（2）证明：∵在△BED和△BEO中

BD=BO

∠EBO=∠EBO

BE=BE

∴△BED≌△BEO，
∴∠BDE=∠BOE，
∵∠BCF=(1)/(2)∠BOE，
∴∠BCF=(1)/(2)∠BDE，
连接OC，
设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，
∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=α，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α，
∴∠ABC=(1)/(2)∠AOC=(1)/(2)∠EFC，
∴四边形DBCF是半对角四边形；

（3） 过点O作OM⊥BC于M，
∵四边形DBCF是半对角四边形，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BCO=2∠BAC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴BC=2BM=√(3)BO=√(3)BD，
∵DG⊥OB，
∴∠HGB=∠BAC=60°，
∵∠DBG=∠CBA，
∴△DBG∽△CBA，
∴(△DBG的面积)/(△ABC的面积)=（(BD)/(BC)）²=(1)/(3)，
∵DH=BG，BG=2HG，
∴DG=3HG，
∴(△BHG的面积)/(△BDG的面积)=(1)/(3)，
∴(△BHG的面积)/(△ABC的面积)=(1)/(9)．