悬赏200分有A和B两辆汽车,B作匀速直线运动,A则以恒速率v（v>u）追赶.初时A距B为r0,A的速度v与B的速度u相互垂直.以后A时刻调整行驶方向以保持对准B驶去(见下图).B→u↑vA通过积分可以算出A追

Question

悬赏200分
有A和B两辆汽车,B作匀速直线运动,A则以恒速率v（v>u）追赶.初时A距B为r0,A的速度v与B的速度u相互垂直.以后A时刻调整行驶方
向以保持对准B驶去(见下图).
B →u
↑v
A
通过积分可以算出A追到B所用时间和A所走过的路程.
现在我要求的是：
A的水平位移与时间t的函数关系
和
A的竖直位移与时间t的函数关系
---------------------------
致hchc35：
你最后算出x=ut,那说明A始终在B下方了。这是不对的。
致hchc35：
你给我邮箱里的那个过程中有一步错了：
-p+sqrt(1+p^2)那算错了

Answer 1

以A为原点建立坐标系
B方向位移：x=ut,y=r
A方向位移：A轨迹的切线斜率=AB的线段的斜率
即dy/dx=(r-y)/(ut-x)
交换分子分母得到：
dy/(r-y)=dx/(ut-x)
积分得到：
-ln(r-y)=-ln(ut-x)-C’
化简得到：
Ln(r-y)=ln[C(ut-x)]
即：
r-y=Cut-Cx
所以：
y=Cx+r-Cut .(*)
把y对t求导：(此时x视作常数)
dy/dt=－Cu
加入初始条件：t=0时y=0 dy/dt=v
再对上式积分得到：C=－v/u
y=－Cu=－v/u*u=vt
改写(*)式：x=ut-r/C+y/C
把x对t求导：(此时y视作常数)
dx/dt=u
加入初始条件：t=0时x=0
再对上式积分得到：
x=ut