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已知集合p=﹛x|1≤x≤3﹜,函数y=以二为底(ax^2-2x+3)的对数的定义域为Q1.若p∩Q≠空集,求a的取值范围2.若上方程等于二,在[1,3]内有解,求实数a的取值范围3.若p包含于Q,求a的取值范围
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已知集合p=﹛x|1≤x≤3﹜,函数y=以二为底(ax^2-2x+3)的对数的定义域为Q
1.若p∩Q≠空集,求a的取值范围
2.若上方程等于二,在[1,3]内有解,求实数a的取值范围
3.若p包含于Q,求a的取值范围
1.若p∩Q≠空集,求a的取值范围
2.若上方程等于二,在[1,3]内有解,求实数a的取值范围
3.若p包含于Q,求a的取值范围
▼优质解答
答案和解析
(1)分类讨论:
①当a=0 时,ax^2-2x+3=-2x+3>0,x<3/2,与1≤x≤3有交集;
②当a>0时,ax²-2x+3>0,即x²-2x/a+3/a>0,设f(x)=x²-2x/a+3/a
此时,对称轴x=1/a>0,Δ=(4-12a)/a²
1)当Δ<0时,a>1/3,x∈R,即p∩Q≠空集;
2)当Δ=0时,a=1/3,要使f(x)=x²-2x/a+3/a=(x-3)²>0,则x≠3, 此时 ,p∩Q≠空集;
3)当Δ>0时,0<a<1/3,此时对称轴x=1/a>3,f(1)=1+1/a>0,故此时p∩Q≠空集;
③当a<0时,ax²-2x+3>0,即x²-2x/a+3/a<0,设g(x)=x²-2x/a+3/a
此时,对称轴x=1/a<0,开口方向向上,要使p∩Q≠空集,则g(1)<0,即a>-1;
综上所述,若p∩Q≠空集,则a的取值范围为a∈(-1,+∞)
(2)若y=log2(ax²-2x+3)=2,则ax²-2x+3=4,即ax²-2x-1=0,设m(x)=ax²-2x-1,分类讨论如下:
①当a=0时,m(x)=-2x-1=0,x=-1/2,不在[1,3]内,舍去;
②当a<0时,对称轴x=1/a<0,m(0)=-1<0,不合题意,舍去;
③当a>0时,对称轴x=1/a>0,则m(1)≦0,且f(3)≧0,求得,7/9≦a≦3;
综上所述,a的取值范围为a∈[7/9,3]
(3)设n(x)=ax²-2x+3,n(x)>0;
当a=0时,n(x)=-2x+3>0,即x<3/2,不合题意,舍去;
当a>0时,对称轴x=1/a>0,此时,n(1)≥0或n(3)≥0,求得,a≥-1或a≥1/3,即a≥1/3;
当a<0时,对称轴x=1/a<0,开口方向向下,此时,n(3)>0,求得,a>1/3,与a<0矛盾,舍去;
综上所述,若使p包含于Q,则a∈[1/3,+∞﹚
①当a=0 时,ax^2-2x+3=-2x+3>0,x<3/2,与1≤x≤3有交集;
②当a>0时,ax²-2x+3>0,即x²-2x/a+3/a>0,设f(x)=x²-2x/a+3/a
此时,对称轴x=1/a>0,Δ=(4-12a)/a²
1)当Δ<0时,a>1/3,x∈R,即p∩Q≠空集;
2)当Δ=0时,a=1/3,要使f(x)=x²-2x/a+3/a=(x-3)²>0,则x≠3, 此时 ,p∩Q≠空集;
3)当Δ>0时,0<a<1/3,此时对称轴x=1/a>3,f(1)=1+1/a>0,故此时p∩Q≠空集;
③当a<0时,ax²-2x+3>0,即x²-2x/a+3/a<0,设g(x)=x²-2x/a+3/a
此时,对称轴x=1/a<0,开口方向向上,要使p∩Q≠空集,则g(1)<0,即a>-1;
综上所述,若p∩Q≠空集,则a的取值范围为a∈(-1,+∞)
(2)若y=log2(ax²-2x+3)=2,则ax²-2x+3=4,即ax²-2x-1=0,设m(x)=ax²-2x-1,分类讨论如下:
①当a=0时,m(x)=-2x-1=0,x=-1/2,不在[1,3]内,舍去;
②当a<0时,对称轴x=1/a<0,m(0)=-1<0,不合题意,舍去;
③当a>0时,对称轴x=1/a>0,则m(1)≦0,且f(3)≧0,求得,7/9≦a≦3;
综上所述,a的取值范围为a∈[7/9,3]
(3)设n(x)=ax²-2x+3,n(x)>0;
当a=0时,n(x)=-2x+3>0,即x<3/2,不合题意,舍去;
当a>0时,对称轴x=1/a>0,此时,n(1)≥0或n(3)≥0,求得,a≥-1或a≥1/3,即a≥1/3;
当a<0时,对称轴x=1/a<0,开口方向向下,此时,n(3)>0,求得,a>1/3,与a<0矛盾,舍去;
综上所述,若使p包含于Q,则a∈[1/3,+∞﹚
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