正切三角的一个问题：tan9度-tan27度-tan63度+tan81度=?

Question

正切三角的一个 问题：
tan9度-tan27度-tan63度+tan81度=?

Answer 1

tan9°-tan27°-tan63°+tan81°
=[(sin9°/cos9°)+(sin81°/cos81°)]
-[(sin27°/cos27°)+(sin63°/cos63°)]
=[(sin9°cos81°+cos9°sin81°)/cos9°cos81°]
-[(sin27°cos63°+cos27°sin63°)/cos27°cos63°]
=sin90°/(sin9°cos9°)-sin90°/(sin27°cos27°)
=2/sin18°-2/sin54°
=2(1/sin18°-1/cos36°)
令x=18°
有sin2x=cos3x
得2sinxcosx=4cos^3x-3cosx
因为cosx≠0
上式两边同除以cosx,并移项
得-4cos^2x+2sinx+3=0
得-4(1-sin^2x)+2sinx+3=0
得4sin^2x+2sinx-1=0
解得sinx=(√5-1)/4 (负值舍去)
即sin18°=(√5-1)/4
cos36°=1-2sin^218°=1-2[(√5-1)/4]^2=(√5+1)/4
2(1/sin18°-1/cos36°)
=2{1/[(√5-1)/4]-1/[(√5+1)/4]}
=4
即tan9°-tan27°-tan63°+tan81°=4
切割的三角式化简的时候一般情况应首先切割化弦
还有18°也是特殊角,因为sin2*18°=cos3*18°,根据二倍角和三倍角公式和sin18°的范围可以用关于sin18°一元二次方程求出sin18°的值
你可以用科学计算器验证一下这题,结果肯定对
看的懂吧,