如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C、BB1A1A为全等的矩形，并且AB=1，BB1=2，AB⊥侧面BB1C1C，D为棱C1C上异于C、C1的一点，且DB⊥DA1．（1）求证：B1D⊥平面ABD；（2）求二面角A-DB1-A1的余弦值．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C、BB₁A₁A为全等的矩形，并且AB=1，BB₁=2，AB⊥侧面BB₁C₁C，D为棱C₁C上异于C、C₁的一点，且DB⊥DA₁．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角A-DB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

（1）证明：依题意，可知BA，BC，BB₁两两垂直，
以B为坐标原点，BC为x轴，BB₁为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，
则B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），
B₁（0，2，0），A₁（0，2，1），C₁（1，2，0）
设D（1，y，0），则

BD

＝(1，y，0)，

DA1

＝(−1，2−y，1)，
∵DB⊥DA₁，

BD

•

DA1

＝−1+y(2−y)＝0⇒y＝1
从而

B1D

＝(1，−1，0)，

BD

＝(1，1，0)，

BA

＝(0，0，1)，
∴

B1D

•

作业帮用户 2017-10-16

问题解析

（1）依题意，可知BA，BC，BB₁两两垂直，以B为坐标原点，BC为x轴，BB₁为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，则

BD

＝(1，y，0)，

DA1

＝(−1，2−y，1)，由向量法能够证明B₁D⊥平面ABD．
（2）由题意A₁B₁⊥B₁D，又

B1D

＝(1，−1，0)，

DA

＝(−1，−1，1)，故

B1D

•

DA

＝0，B₁D⊥AD，设二面角A-DB₁-A₁的大小为θ，由向量法能够求出二面角A-DB₁-A₁的大小的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意向量法的合理运用．

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