如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（4，4），过点B作BA⊥x轴、BC⊥y轴，垂足分别为点A、C．点P为线段BC上的一点（不与点C、B重合），点D在OC上，点E在AB上，将四边形OAED以直线DE为对称

Question

如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（4，4），过点B作BA⊥x轴、BC⊥y轴，垂足分别为点A、C．点P为线段BC上的一点（不与点C、B重合），点D在OC上，点E在AB上，将四边形OAED以直线DE为对称轴翻叠，使点O落在P处，点A的对应点为点F，PF交AB于Q，连接OP．
（1）求证：∠OPC=∠OPF；
（2）设点P坐标为（m，4），△PBQ的周长为n，当点P在边CB上移动时，△PBQ的周长是否发生变化？若不变化，求出n的值；若变化，求出n与m的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：由题意可得：OD=DP，∠AOD=∠FPD=90°，
∴∠POD=∠DPO，
∵∠POD+∠CPO=90°，∠DPO+∠OPF=90°，
∴∠OPC=∠OPF；

（2）n的值不变；
如图：过点O作OG⊥PF，垂足为G，连接OQ，
则∠OCP=∠OGP，
在△OPC和△OPG中

∠OCP＝∠OGP

∠CPO＝∠GPO

OP＝OP

，
∴△OPC≌△OPG（AAS），
∴OC=OG，PC=PG，
∵点B坐标为：（4，4），
∴OA=OC=BC=AB=4，
∴OG=OA，
在Rt△OGQ和Rt△OAQ中

OG＝OA

OQ＝OQ

，
∴Rt△OGQ≌Rt△OAQ（HL），
∴AQ=GQ，
∴n=BP+BQ+PQ=BP+BQ+PG+QG
=BP+CP+BQ+QG
=BC+AB
=4+4
=8．