如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°（1）求B、C两点的坐标；（2）过点G（0，-6）作GF⊥AC，垂足为F，直线GF分别交AB、OC于点E、D，求直线DE的解析式；（3）在（2）的条

Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°
（1）求B、C两点的坐标；
（2）过点G（0，-6）作GF⊥AC，垂足为F，直线GF分别交AB、OC于点E、D，求直线DE的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点M在直线DE上，平面内是否存在点P，使以O、F、M、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在直角△OAC中，
∵∠ACO=30°
∴tan∠ACO=(OA)/(OC)=(√(3))/(3)，
∴设OA=√(3)x，则OC=3x，
根据勾股定理得：（3x）²+（√(3)x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2√(3)．
故C的坐标是：（6√(3)，0），B的坐标是（6√(3)，6）；

（2）∵直线AC的斜率是：-(6)/(6√(3))=-(√(3))/(3)，
∴直线DE的斜率是：√(3)．
∴设直线DE的解析式是y=√(3)x+b，
∵G（0，-6），
∴b=-6，
∴直线DE的解析式是：y=√(3)x-6；

（3）∵C的坐标是：（6√(3)，0），B的坐标是（6√(3)，6）；
∴A（0，6），
∴设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

6＝b

0＝6√(3)k+b

，
解得

b＝6

k＝−(√(3))/(3)

．
∴直线AC的解析式为y=-(√(3))/(3)x+6．
∵直线DE的解析式为y=√(3)x-6，
∴

y＝−(√(3))/(3)x+6

y＝√(3)x−6

，
解得

x＝3√(3)

y＝3

．
∴F是线段AC的中点，
∴OF=(1)/(2)AC=6，
∵直线DE的斜率是：√(3)．
∴DE与x轴夹角是60°，
当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，
则∠POC=60°或120°．
当∠POC=60°时，过N作NG⊥y轴，则PG=OP•sin30°=6×(1)/(2)=3，
OG=OP•cos30°=6×(√(3))/(2)=3√(3)，则P的坐标是（3，3√(3)）；
当∠NOC=120°时，与当∠POC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3√(3)）；
当OF是对角线时（如图2），MP关于OF对称．
∵F的坐标是（3√(3)，3），
∴∠FOD=∠POF=30°，
在直角△OPH中，OH=(1)/(2)OF=3，OP=(OH)/(cos∠POH)=(3)/((√(3))/(2))=2√(3)．
作PL⊥y轴于点L．
在直角△OPL中，∠POL=30°，
则PL=(1)/(2)OP=√(3)，
OL=OP•cos30°=2√(3)×(√(3))/(2)=3．
故P的坐标是（√(3)，3）．
当DE与y轴的交点时G，这个时候P在第四象限，
此时点的坐标为：（3√(3)，-3）．
则P的坐标是：（3√(3)，-3）或（3，3√(3)）或（-3，-3√(3)）或（√(3)，3）．