已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R），e为自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）在区间（e，+∞）上的单调性，并求出极值．（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．

Question

已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R），e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）在区间（e，+∞）上的单调性，并求出极值．
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂，求证：x₁x₂＞e²．

Answer 1

（1）∵f′（x）=(1)/(x)-m=(1−mx)/(x)，x＞0；    
①当m≤0时，f′（x）＞0，∴函数f （x）在（e，+∞）上单调递增，此时f （x）无极值．
②当m＞0时，令f′（x）=0，得x=(1)/(m)．
若(1)/(m)≤e，即m≥(1)/(e)时，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数f （x）在（e，+∞）上单调递
减，此时f （x）无极值；                              
若(1)/(m)＞e，即0＜m＜(1)/(e)时，由函数y=1-mx的图象可知函数f （x）在（e，(1)/(m)）上单调递
增，在（(1)/(m)，+∞）上单调递减，此时f （x）有极大值为f（(1)/(m)）=-lnm-1，无极小值．      
综上，当m≤0时，f （x）在（e，+∞）上单调递增，f （x）无极值．
当0＜m＜(1)/(e)时，f （x）在（e，(1)/(m)）上单调递增，在（(1)/(m)，+∞）上单调递减，此时f （x）有极
大值为f（(1)/(m)）=-lnm-1，无极小值．
当m≥(1)/(e)时，f （x）在（e，+∞）上单调递减，f （x）无极值．    
（III）∵f（x）有两个相异零点，∴设lnx₁=mx₁，lnx₂=mx₂，①
即lnx₁-lnx₂=m（x₁-x₂），
∴(lnx1−lnx2)/(x1−x2)=m②
而x₁•x₂＞e²，等价于：lnx₁+lnx₂＞2，即m（x₁+x₂）＞2，③
由①②③得：(lnx1−lnx2)/(x1−x2)（x₁+x₂）＞2，
不妨设x₁＞x₂＞0，则t=(x1)/(x2)＞1，
上式转化为：lnt＞(2(t−1))/(t+1)，t＞1
设H（t）=lnt-

作业帮用户 2016-12-04

问题解析

（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论；
（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．

考点点评：

本题主要考查函数单调性和导数之间的关系和应用，以及利用函数的导数研究函数的最值和零点问题，综合性较强，运算量较大．

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(2(t−1))/(t+1)