若实数x、y满足x^2+y^2=1,则(y-2)/(x-1)的最小值为多少?

Question

若实数x、y满足x^2+y^2=1,则(y-2)/(x-1)的最小值为多少?

Answer 1

方法一：
令（y－2）/（x－1）＝k,则：y－2＝kx－k,∴y＝kx－（k－2）.
又x^2＋y^2＝1,∴x^2＋［kx－（k－2）］^2＝1,
∴（1＋k^2）x^2－2k（k－2）x＋（k－2）^2－1＝0.
∵x是实数,∴需要［－2k（k－2）］^2－4（1＋k^2）［（k－2）^2－1］≧0.
∴k^2（k－2）^2－（1＋k^2）（k^2－4k＋4－1）≧0.
∴k^2（k^2－4k＋4）－（k^2－4k＋3＋k^4－4k^3＋3k^2）≧0,
∴k^4－4k^3＋4k^2－k^2＋4k－3－k^4＋4k^3－3k^2≧0,
∴4k－3≧0,∴k≧3/4.
即：（y－2）/（x－1）的最小值为3/4.
方法二：
将x^2＋y^2＝1看成是一个圆,则圆心坐标是（0,0）,半径为1.
令（y－2）/（x－1）＝k,得：y－2＝k（x－1）.
而√［（1－0）^2＋（2－0）^2］＝√5＞1,　∴点（1,2）在圆外.
∴y－2＝k（x－1）是过点（1,2）的切线,切线斜率为k.
设切点坐标为（m,n）,则：k＝－m/n.　［切线与过切点的半径垂直］
而k＝（n－2）/（m－1）,∴－m/n＝（n－2）/（m－1）,∴m－m^2＝n^2－2n,
∴m＋2n＝m^2＋n^2.
切点坐标（m,n）显然是满足圆方程的,∴m^2＋n^2＝1,∴m＋2n＝1,∴m＝1－2n.
∵m^2＋n^2＝1,∴（1－2n）^2＋n^2＝1,∴1－4n＋4n^2＋n^2＝1,∴5n^2－4n＝0,
∴n（5n－4）＝0,∴n＝0,或n＝4/5.
由n＝0,得：m＝1－2n＝1.
由n＝4/5,得：m＝1－2n＝1－8/5＝－3/5.
当m＝1,n＝0时,k不存在,此时的切线与y轴平行,可认为此时的k为无限大.∴应舍去.
当m＝－3/5,n＝4/5时,k＝－m/n＝3/4.
∴（y－2）/（x－1）的最小值是3/4.