23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0＜e≤根号2减一时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别

Question

23．若椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当
0＜e≤根号2减一 时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
23．若椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.则
0＜e≤ 根号2减1
我是想证明为什么是0＜e≤ 根号2减1时，我解出来不是的

Answer 1

【1】由题设可知：|PF1|²=d×|PF2|.
可设点P(acost,bsint),由椭圆第二定义可得：
|PF1|=ed,其中,d=[(a²/c)+acost].
显然,|PF1|+|PF2|=2a.
∴把上面这些代人条件等式中,可得：
|PF1|×(ed)=d(2a-|PF1|).
∴|PF1|=2a/(e+1).
∴由|PF1|=ed,且|PF1|=2a/(e+1)可得：
d=2a/(e²+e)=2a³/[c(a+c)].
又d=(a²/c)+acost.
∴2a³/[c(a+c)]=(a²/c)+acost.
整理可得cost=(a²-ac)/(ac+c²).
由-1≤cost≤1可得：
-1≤（a²-ac)/(ac+c²)≤1.
易知,左边恒成立,右边可得：
1≤e²+2e.
(e+1)²≥2.
∴e≥(√2)-1.又e＜1.
∴(√2)-1≤e＜1