实数x,y满足4^x+4^y=2^(x+1)+2^(y+1),则t=2^x+2^y取值范围多少答案是(2,4],

Question

实数x,y满足4^x+4^y=2^(x+1)+2^(y+1),则t=2^x+2^y取值范围多少
答案是(2,4],

Answer 1

由4^x+4^y=2^(x+1)+2^(y+1)
2^2x+2^2y=2×2^x+2×2^y(将2^x,2^y都看成整体）
(2^x)²-2×2^x+1+(2^y)²-2×2^y+1=2
(2^x-1）²+（2^y-1）²=2
（1）∵2^x＞0,2^y＞0,
∴(2^x-1）²+（2^y-1）²=2
设2^x-1=√2cosa,2^y-1=√2sina,
∴2^x=√2cosa+1＞0,cosa＞-√2/2
2^y=√2sina+1＞0,sina＞-√2/2
∴0≤a＜3π/4(0----135°)
t=2^x+2^y=2+2(√2/2cosa+√2/2sina)
=2+2(sin45°cosa+cos45°sina)
=2+2sin(a+45°)
∵0≤a＜3π/4
由a＜3π/4,∴t＞,2（如果a=3π/4,t=2,与2^x＞0矛盾）
a=0时t=4
∴t∈（2,4]