如何证明积分中值定理的推论?重谢!设函数f和g在[a,b]上可积.若g为单调函数且在（a,b）上不变号,则存在一点c属于[a,b],使得(f乘以g)的积分等于f（c）乘以g在（a,b）上的积分.积分符号不好打是

Question

如何证明积分中值定理的推论?重谢!
设函数f和g在[a,b]上可积.若g为单调函数且在（a,b）上不变号,则存在一点c属于[a,b],使得(f乘以g)的积分等于f（c）乘以g在（a,b）上的积分.
积分符号不好打是吧?

Answer 1

结论不对的,还需要f连续才能保证对,否则只能说存在T属于[m,M],使得
fg在[a,b]上的积分 = T * (g在[a,b]上的积分)
其中m,M分别是f在[a,b]上的下确界和上确界.(直接用不等式放缩即得)
如果有f连续,那么直接用闭区间上连续函数的介值定理即可.