已知：关于x的一元二次方程kx2-（k-1）x-1=0（1）求证：方程有两个实数根；（2）当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；（3）我们定义：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根x1、x2

Question

已知：关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；
（3）我们定义：若一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根x₁、x₂（x₁＞x₂），满足2＜(x1)/(x2)＜3，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”．如果关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有两个“梦想根”，求k的范围．

Answer 1

（1）关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0，
a=k，b=-（k-1），c=-1，
△=b²-4ac=[-（k-1）]²-4k（-1）=k²+2k+1=（k+1）²≥0，
关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有两个实数根；
（2）关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0，
x₁=(k−1+|k+1|)/(2k)，x₂=(k−1−|k+1|)/(2k)，
方程的两个实数根互为相反数，得
x₁+x₂=(k−1+|k+1|)/(2k)+(k−1−|k+1|)/(2k)=0，
即(2(k−1))/(2k)=0，
解得k=1，
当k=1时，此方程的两个实数根互为相反数；
（3）当k＞0时，x₁=1，x₂=-(1)/(k)＜0，不符合题意；
当-1≤k＜0时，x₁=-(1)/(k)，x₂=1，2＜(x1)/(x2)＜3，得

−(1)/(k)＞2

−(1)/(k)＜3

，
解得-(1)/(2)＜k＜−(1)/(3)；
当k＜-1时，x₁=-(1)/(k)，x₂=1，由2＜(x1)/(x2)＜3，得

作业帮用户 2017-10-31

问题解析

（1）根据方程的判别式，可得答案；
（2）根据互为相反数的和为零，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据方程的梦想根，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．

名师点评

本题考点：

根的判别式；根与系数的关系．

考点点评：

本题考查了根的判别式，利用了根的判别式，一元二次方程根的公式，解不等式组．

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