称d（a,b）=|a-b|为两个向量a、b的“距离”,若a、b满足：|b|=1,a不等于b,对任意t属于R,恒有d（a,tb）大于等于d（a,b）,则——————b垂直于（a-b）这个答案怎样的出来的?

Question

称d（a,b）=|a-b|为两个向量a、b的“距离”,若a、b满足：|b|=1,a不等于b,对任意t属于R,恒有d（a,tb）大于等于d（a,b）,则 ——————
b垂直于（a-b）这个答案怎样的出来的?

Answer 1

对任意t属于R,恒有d（a,tb）大于等于d（a,b）,
即| a-tb |≥| a-b |,
平方得：a^2-2ta•b+t^2b^2≥a^2-2a•b+b^2,
|b|=1,则b^2=1代入：
-2ta•b+t^2≥-2a•b+1,
t^2-2ta•b+2a•b-1≥0,
这是关于t的二次不等式,恒成立,只需△=4(a•b)^2-4(2a•b-1)≤0,
(a•b)^2-2a•b+1≤0,(a•b-1)^2≤0,
所以a•b=1,
因为b^2=1,所以a•b= b^2,
∴b•（a-b）=a•b- b^2=0,
所以向量b垂直于向量（a-b）.