今f表示一切次数不大于2的多项式连同零多项式所成的向量空间,证明x^2+x,x^2-x,x+1为的一个基,并求2x^2+7x+3在这个基下的坐标.

Question

今f表示一切次数不大于2的多项式连同零多项式所成的向量空间,证明x^2+x,x^2-x,x+1为
的一个基,并求2x^2+7x+3在这个基下的坐标.

Answer 1

1）证明它们是一组基就是证明他们线性无关!
若A(x^2+x)+B(x^2-x)+C(x+1)=0,必得到A=B=C=0,这个易证,只要展开,二次,一次,常数项系数即可
2）用一组基底表示,只要找到一组数A,B,C使得2x^2+7x+3=A(x^2+x)+B(x^2-x)+C(x+1)
同样待定系数法可得方程组
A+B=2
A-B+C=7
C=3
解得A=3,B=-1,C=3,即坐标为(3,-1,3)