求f(x)=x^17+10x^12－2x^10－1除以(x＋1)(x^2＋x＋1)之余式

Question

求f(x)=x^17+10x^12－2x^10－1除以(x＋1)(x^2＋x＋1)之余式

Answer 1

注意到：x^6-1=(x^3+1)(x^3-1)=(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1),则x^6-1除以(x＋1)(x^2＋x＋1)恰好整除.
f(x)=x^5(x^12-1)+x^5+10(x^12-1)+10-2x^4(x^6-1)-2x^4-1
=x^5(x^12-1)+10(x^12-1)-2x^4(x^6-1)+【x^5-2x^4+9】
注意到x^5(x^12-1)+10(x^12-1)-2x^4(x^6-1)是x^6-1的倍数,
因而所求余式相当于x^5-2x^4+9除以(x＋1)(x^2＋x＋1)的余式
因为打字的不方便,不便于列竖式除法,所以下面用拆项的方式：
(x＋1)(x^2＋x＋1)=x^3+2x^2+2x+1
x^5-2x^4+9=x^2(x^3+2x^2+2x+1)-4x(x^3+2x^2+2x+1)+6(x^3+2x^2+2x+1)+【-5x^2-8x-15】
【-5x^2-8x-15】即为所求余式.
可能有计算错误,请见谅!