多项式f(x)除以(x-1)^2,(x+2)^2,余式分别为3x+2,5x-3,则f（x）除以（x-1）*（x+2）余式为6x-1是否正确?f（x）除以（x-1）^2*(x+2),余式为-x^2+5x+1是否正确?

Question

多项式f(x)除以(x-1)^2,(x+2)^2,余式分别为3x+2,5x-3,则f（x）除以（x-1）*（x+2）余式为6x-1是否正确?f（x）除以（x-1）^2*(x+2),余式为-x^2+5x+1是否正确?

Answer 1

设f(x)除以(x-1)(x+2)余式为px+q,f(x)除以(x-1)²(x+2)余式为rx²+sx+t,
又因f(x)除以(x-1)²,(x+2)²,余式分别为3x+2,5x-3,那么
f(1)=3×1+2=5=p+q=r+s+t,f(-2)=5×(-2)-3=-13=-2p+q=4r-2s+t,解得p=6,q=-1,
故f(x)除以(x-1)(x+2)余式为6x-1,同时由f(1)=5,x-1能整除f(x)-5,故存在g(x),使得
f(x)-5=(x-1)g(x),f(x)-5除以(x-1)²余式为3x+2-5=3(x-1),那么g(x)除以x-1余式为3,g(1)=3.
又r和s不能同时为0,那么f(x)-5除以(x-1)²(x+2)余式为
rx²+sx+t-5=r(x²-x)+(r+s)(x-1)+(r+s+t-5)=(x-1)(rx+r+s),那么g(x)除以(x-1)(x+2)余式为rx+r+s,
则g(1)=2r+s=3,联立r+s+t=5,4r-2s+t=-13解得
解得r=-1,s=5,t=1,故f(x)除以(x-1)(x+2)²余式为-x²+5x+1.