正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为√2a.求AC1与侧面ABB1A1所成的角（请以C为原点）

Question

正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为√2a.求AC1与侧面ABB1A1所成的角（请以C为原点）

Answer 1

① 以点A为坐标原点O,以AB所成直线为Oy轴,
以AA1所在直线为Oz轴,以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴,建立空间直角坐标系．
由已知得A（0,0,0）,B（0,a,0）,A1(0,0,2a),C1(-32a,a2,2a)．
②坐标系如上,取A1B1的中点M,于是有 M(0,a2,2a),
连AM,MC1有 MC1→= (-32a,0,0),
且 AB→=（0,a,0）,AA1→= (0,0,2a),
由 MC1→• AB→=0,MC1→• AA1→=0,
所以,MC1⊥面ABB1A1,
∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角．
∵ AC1→= (-32a,a2,2a),AM→= (0,a2,2a),
∴ AC1→• AM→= 0+a24+2a2=94a2,|AC1→|= 3a24+a24+2a2= 3a,|AM→|= a24+2a2=32a,
∴ cos＜AC1→,AM→＞= 94a23a•32a=32,
所以,AC1→与 AM→所成的角,即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．