指数函数与直线相切求出y=a^x(a>1)与y=x相切时a的取值和切点坐标

Question

指数函数与直线相切
求出y=a^x(a>1)与y=x相切时a的取值和切点坐标

Answer 1

求出y=a^x(a>1)与y=x相切时a的取值和切点坐标
令x=a^x,得a=x^(1/x).(1)
再令y′=(a^x)lna=1,于是得a^x=1/lna,故a=(1/lna)^(1/x).(2)
由(1)(2)得x^(1/x)=(1/lna)^(1/x),故得x=1/lna；代入(1)式得a=(1/lna)^(lna),两边再取对数得：
lna=(lna)ln(1/lna)=(lna)(-lnlna),移项得lna(1+lnlna)=0,由于lna≠0(若lna=0,则a=1),故必有
lnlna=-1,于是得lna=1/e；故a=e^(1/e)；即当a=e^(1/e)时,y=[e^(1/e)]^x=e^(x/e)与直线y=x相切 ,切点坐标为(e,e).
检验：y=e^(x/e),y′=[e^(x/e)][lne^(1/e)]=[e^(x/e)](1/e),当x=e时y′=[e^(e/e)](1/e)=1=直线的斜率；
f(e)=e^(e/e)=e；(e,e)也在直线上.故完全正!.