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(2014•山东)设函数f(x)=exx2-k(2x+lnx)(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数).(Ⅰ)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取
题目详情
(2014•山东)设函数f(x)=
-k(
+lnx)(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数).
(Ⅰ)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
ex |
x2 |
2 |
x |
(Ⅰ)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=
(x>0),
当k≤0时,kx≤0,
∴ex-kx>0,
令f′(x)=0,则x=2,
∴当0<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,
故f(x)在(0,2)内不存在极值点;
当k>0时,设函数g(x)=ex-kx,x∈[0,+∞).
∵g′(x)=ex-k=ex-elnk,
当0<k≤1时,
当x∈(0,2)时,g′(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增,
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;
当k>1时,
得x∈(0,lnk)时,g′(x)<0,函数y=g(x)单调递减,
x∈(lnk,+∞)时,g′(x)>0,函数y=g(x)单调递增,
∴函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1-lnk)
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点
当且仅当
解得:e<k<
综上所述,
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为(e,
)
∴f′(x)=
(x−2)(ex−kx) |
x3 |
当k≤0时,kx≤0,
∴ex-kx>0,
令f′(x)=0,则x=2,
∴当0<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,
故f(x)在(0,2)内不存在极值点;
当k>0时,设函数g(x)=ex-kx,x∈[0,+∞).
∵g′(x)=ex-k=ex-elnk,
当0<k≤1时,
当x∈(0,2)时,g′(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增,
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;
当k>1时,
得x∈(0,lnk)时,g′(x)<0,函数y=g(x)单调递减,
x∈(lnk,+∞)时,g′(x)>0,函数y=g(x)单调递增,
∴函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1-lnk)
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点
当且仅当
|
解得:e<k<
e2 |
2 |
综上所述,
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为(e,
e2 |
2 |
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