对底数分类讨论,证明指数函数和对数函数的单调性.

Question

对底数分类讨论,证明指数函数和对数函数的单调性.

Answer 1

1、指数函数f(x)=a的x次幂(a＞0且a≠1)
①定义法：在定义域R内取两数m、n满足m＞n,则f(m)和f(n)恒正
当a＞1时f(m)/f(n)=a的m-n次幂＞1,则f(m)＞f(n)恒成立,f(x)在定义域上单增
当0＜a＜1时f(m)/f(n)=a的m-n次幂＜1,则f(m)＜f(n)恒成立,f(x)在定义域上单减
②导数：f'(x)=a的x次幂*lna,其中a的x次幂恒正
当a＞1时lna＞0,f'(x)＞0即单增；当0＜a＜1时lna＜0,f'(x)＜0即单减
2、对数函数f(x)=log(a)x(a＞0且a≠1)
①定义法：在定义域x＞0内取两数m、n满足m＞n,则m/n＞1
当a＞1时f(m)-f(n)=log(a)(m/n)＞0,则f(m)＞f(n)恒成立,f(x)在定义域上单增
当0＜a＜1时f(m)-f(n)=log(a)(m/n)＜0,则f(m)＜f(n)恒成立,f(x)在定义域上单减
②导数：f'(x)=1/(x*lna),其中x恒正
当a＞1时lna＞0,f'(x)＞0即单增；当0＜a＜1时lna＜0,f'(x)＜0即单减