已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an2+an-2Sn=0，cn=anbn，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若b1=1，2bn-bn-1=0（n≥2，n∈N*），求出数列{cn}的前n项和Tn并判断是否存在整数m、M，使得m＜Tn＜M

Question

已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a_n²+a_n-2S_n=0，c_n=a_nb_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N^*），求出数列{c_n}的前n项和T_n并判断是否存在整数m、M，使得m＜T_n＜M对任意正整数n恒成立，且M-m=4？说明理由．

Answer 1

（本题满分15分）
（1）令n＞1，

a

2 n−1

+an−1−2Sn−1＝0，
所以（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+a_n-a_n-1-2a_n=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
a_n-a_n-1=1，
令n=1
则

a

2 1

+a1−2a1＝0⇒a1＝1．
从而，a_n=1+（n-1）=n．
（2）因为(bn)/(bn−1)＝(1)/(2)，所以bn＝((1)/(2))n−1，
因此cn＝n((1)/(2))n−1．
所以Tn＝1((1)/(2))0+2((1)/(2))1+…+n((1)/(2))n−1，
(1)/(2)Tn＝1((1)/(2))1+2((1)/(2))2+…+n((1)/(2))n，
(1)/(2)Tn＝1+(1)/(2)+…+((1)/(2))n−1−n((1)/(2))n，Tn＝4[1−((1)/(2))n]−n((1)/(2))n−1
=4−4((1)/(2))n−n((1)/(2))n−1
=4−(2n+4)((1)/(2))n．
从而可得：T_n＜4．
因为Tn+1−Tn＝4−(2n+6)((1)/(2))n+1−4+(2n+4)((1)/(2))n=((1)/(2))n(n+1)＞0．
所以T_n≥T₁=1．
故存在整数M=4，m=0满足题目要求．