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求证:有无穷多个自然数a,使得数z=n^4+a对于任何自然数n均为合数
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求证:有无穷多个自然数a,使得数z=n^4+a对于任何自然数n均为合数
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答案和解析
如果a是任意一个数的4次方的4倍,则n^4+a必是合数,设a=4*k^4,k是整数,则
n^4+a=n^4+4*k^4=n^4+4*n^2*k^2+4*k^4-4*n^2*k^2=(n^2+2k^2)^2-(2nk)^2
=(n^2+2k^2+2*n*k)(n^2+2k^2-2*n*k)
显然这样的a有无穷多.
n^4+a=n^4+4*k^4=n^4+4*n^2*k^2+4*k^4-4*n^2*k^2=(n^2+2k^2)^2-(2nk)^2
=(n^2+2k^2+2*n*k)(n^2+2k^2-2*n*k)
显然这样的a有无穷多.
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