求证任意9个连续自然数中,必有一个数的数字之和是5的倍数.求证：任意9个连续自然数中,必有一个数的数字之和是5的倍数.

Question

求证任意9个连续自然数中,必有一个数的数字之和是5的倍数.
求证：任意9个连续自然数中,必有一个数的数字之和是5的倍数.

Answer 1

首先,注意到一个事实,【一个数+1进位后,它的数字之和减少9、99、999、...】
例如,19+1,原来数字之和为1+9+1=11,进位后变为20,数字之和为2+0=2,减少9.
而所有这些形如9、99、999、...的数,它们都是5的倍数+4,不妨设为5n+4.
齐次,以下事实如需证明,
【连续5个自然数中,必有一个数是5的倍数.】
再有,注意到,【连续9个自然数,期间至多出现一次进位,也可能不出现.】
设这9个连续自然数中,最小的那个是m,它的数字之和为a
那么这9个连续自然数假若不出现进位,那么它们的数字之和为：
a、a+1、a+2、a+3、a+4、a+5、a+6、a+7、a+8.
那么,这是连续的9个数,期间必然存在5的倍数.
假若出现进位,如果进位出现在第二个数,那么这9个连续自然数的数字之和为：
a、a+1-(5n+4)、a+1-(5n+4)+1、a+1-(5n+4)+2、a+1-(5n+4)+3、a+1-(5n+4)+4、a+1-(5n+4)+5、a+1-(5n+4)+6、a+1-(5n+4)+7、
同样,其中存在连续8个自然数,期间必然存在5的倍数.
假若出现进位,如果进位出现在第三个数,那么这9个连续自然数的数字之和为：
a、a+1、a+2-(5n+4)、a+2-(5n+4)+1、a+2-(5n+4)+2、a+2-(5n+4)+3、a+2-(5n+4)+4、a+2-(5n+4)+5、a+2-(5n+4)+6、
同样,其中存在连续7个自然数,期间必然存在5的倍数.
……
也就是说,
若不出现进位,那么这9个数应该是9个数组成的连续自然数；
若第2个数出现进位,那9个数字之和应是1+8；（1个数,后面8个连续自然数）
若第3个数出现进位,那9个数字之和应是2+7；（2个连续自然数,后面7个连续自然数）
若第4个数出现进位,那9个数字之和应是3+6；（3个连续自然数,后面6个连续自然数）
若第5个数出现进位,那9个数字之和应是4+5；（4个连续自然数,后面5个连续自然数）
若第6个数出现进位,那9个数字之和应是5+4；（5个连续自然数,后面4个连续自然数）
若第7个数出现进位,那9个数字之和应是6+3；（6个连续自然数,后面3个连续自然数）
若第8个数出现进位,那9个数字之和应是7+2；（7个连续自然数,后面2个连续自然数）
若第9个数出现进位,那9个数字之和应是8+1；（8个连续自然数,后面1个连续自然数）
也就是说,无论如何,这9个数字之和中必存在至少连续的5个自然数,其中必有5的倍数.
证毕.
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