已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C=30°，CD=12，求⊙O的直径．

Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=12，求⊙O的直径．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵CD=12，∠C=30°，
∴AD=CD×tan30°=12×(√(3))/(3)=4√(3)，
∵OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=30°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB=30°，
∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=4√(3)，
∴AB=2AD=8√(3)，
即⊙O的直径是8√(3)．