设f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x）存在极小值点x0，则称x0为f（x）的“下凸拐点”．（1）f（x）=x3的“下凸拐点”为；（2）f（x）=ex-12ax3在区间（0，2）上存在“下凸拐点”，则a的

Question

设f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x）存在极小值点x₀，则称x₀为f（x）的“下凸拐点”．
（1）f（x）=x³的“下凸拐点”为___；
（2）f（x）=e^x-(1)/(2)ax3在区间（0，2）上存在“下凸拐点”，则a的取值范围为___．

Answer 1

（1）由题意得，f′（x）=（x³）′=3x²，∴f″（x）=6x，
由f″（x）=6x=0得，x=0，
∵当x<0时，f″x）<0，当x>0时，f″x）>0，
∴f′（x）存在极小值点x₀=0，
即f（x）=x³的“下凸拐点”为0；
（2）由题意得，f′（x）=ex-(3)/(2)ax2，∴f″（x）=e^x-3ax，
设g（x）=e^x-3ax，则g′（x）=e^x-3a，
由g′（x）=e^x-3a=0得，x=ln（3a），
∵f（x）=e^x-(1)/(2)ax3在区间（0，2）上存在“下凸拐点”，
∴

0

e2-3a>0

e0-3a<0

eln(3a)-3aln(3a)<0

，解得(e)/(3)e23，
∴a的取值范围为((e)/(3)，(e2)/(3))，
故答案为：（1）0；（2）（(e)/(3)，(e2)/(3)）．