设函数f(x)在区间上有一阶导数.证明:函数f(x)是下凸函数的充分必要条件是函数的图像曲线上任一点的切线都在图像曲线下方（用定义证明）

Question

设函数f(x)在区间上有一阶导数.证明:函数f(x)是下凸函数的充分必要条件是函数的图像曲线上任一点的切线都在图像曲线下方（用定义证明）

Answer 1

设函数f(x)在区间[a,b]上有2阶导数
证明:函数f(x)是下凸函数f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(ξ)(x-x0)²≥f(x0)+f'(x0)(x-x0) ,(f''(ξ)≥0),
f(x):曲线的纵坐标,f(x0)+f'(x0)(x-x0)：切线的纵坐标）