群G的每一个元素的阶是有限的,G一定不是无限群.

Question

群G的每一个元素的阶是有限的,G一定不是无限群.

Answer 1

既然你提到了元素的阶,那 G 一定是循环群了.则 G 的数集可以写成以下形式：
　　A = {x | x = a^k,k ∈ N}；（a 是 G 的生成元）

因为：G的每一个元素的阶是有限；那么可以设 n 是所有元素的阶数中最大的那个.
如果：n = 1；因为,只有幺元的阶是1,所以,此时,A 中有且只有一个元素：幺元 e；
如果：n > 1；设所有以 n 为阶的元素包括：
　　x1 = a^k1、 x2 = a^k2、 x3 = a^k3、……（假设 0 < k1 < k2 < k3 1；
可以证明,A 中的元素个数不会超过 nk1 个.因为,根据带余数除法,对于任意次数超过 nk1 的元素：
　　a^t；（t > nk1）
都可以在 0 到 nk1 中,找到一个次数 r ,使得：
　　t = q·(nk1) + r；（q 为一正整数,0 ≤ r < n·k1）
所以,有：
　　a^t = a^(nk1) * a^(nk1) *……* a^r = e * e * …… * a^r = a^r；
即,a^t 是重复出现的元素.

　　事实上,上面的证明对 n 和 k1 的获取并没有什么特别要求——只要它们存在就行.所以,你的题目可以进一步推广：
　　任意循环群 G 中,只要存在一个阶数有限的 “非幺元” 元素,那么该群必然是有限群；当然,G 中的其他元素的阶也必然是有限的.
　　证明：设此元素为：x = a^k；其阶数为：n；即有：
　　x ^ n = a^(n·k) = e；
可以证明,G 中的元素不会超过 n·k 个；——原理同上.