第一题：∫(上限ln2下限0)e^x(1+e^x)^2dx第二题：不计算积分,比较∫(上限1下限0)e^xdx和∫(上限1下限0)e^x^2dx的大小

Question

第一题：∫(上限ln2下限0)e^x(1+e^x)^2dx
第二题：不计算积分,比较 ∫(上限1下限0)e^xdx 和 ∫(上限1下限0)e^x^2dx的大小

Answer 1

约定：∫[a,b] 表示求[a,b]区间上的定积分.
第一题:
原式=∫[0,ln2]e^x(1+e^x)^2dx
=∫[0,ln2](1+e^x)^2d(1+e^x)
=(1/3)(1+e^x)^3|[0,ln2]
=(1/3)((1+e^(ln2))^3-(1+e^0)^3)
=19/3
第二题:因x∈[0,1]时,x≥x^2 且仅当x=0或x=1时取“=”
得x∈[0,1]时,e^x≥e^(x^2) 且仅当x=0或x=1时取“=”
由定积分的意义得：
∫[0,1]e^xdx>∫[0,1]e^(x^2)dx
希望对你有点帮助!