如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A球的质量为mA

Question

如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A球的质量为m_A，B球的质量为m_B，杆长为L．则：
（1）A球着地时的速度为多大？
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为多大？
（3）若m_A=m_B，当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？

Answer 1

（1）A球着地时，B球的速度为0．
设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得m_AgL=(1)/(2)m_Av²，解得  v=√(2gL)
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0
设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得   N=m_Bg
（3）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为v_B，此时A球的速度为v_A，则
m_AgL（1-cosθ）=(1)/(2)m_A

v

2 A

+(1)/(2)m_B

v

2 B

且v_A和v_B沿杆方向上分速度大小相等，即 v_Acosθ=v_Bsinθ
联立解得  v_B=√(2gL(1−cosθ)cos2θ) 
令y=（1-cosθ）cos²θ，当y的导数y´=0时，A球机械能最小，v_B达最大值，即
sinθcos²θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得cosθ=(2)/(3)
答：（1）A球着地时的速度为√(2gL)；
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为m_Bg；
（3）若m_A=m_B，当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为(2)/(3)．