以圆环作为微分元,求球的表面积.我有两种思路,感觉很乱.1：将求竖直切片,通过半径不等的微小圆环进行积分.2：选取球的最大半径圆环为微分元,通过旋转得到球的表面积.书上给的答案是：

Question

以圆环作为微分元,求球的表面积.
我有两种思路,感觉很乱.
1：将求竖直切片,通过半径不等的微小圆环进行积分.
2：选取球的最大半径圆环为微分元,通过旋转得到球的表面积.
书上给的答案是：dS=2πrdl=2πrRdφ（φ角为r对应的球心与x轴半径R围成的角,dl表示的应该是φ角对应的弧长）.这个答案我就看不懂.dS跟2πrdl有什么关系,2πrh不是圆柱的表面积公式吗?
最好是附上两种思路的详细解法.
我自己已经掌握了通过二重积分进行计算的简单算法,但是我不太明白.当以圆环作为微分元的时候应该怎样计算.

Answer 1

你的第二种貌似不行
书上的是第一种,我喜欢横切片,其实是一样的,作图说明吧
你把横切片（红圈和篮圈之间的球面部分）展开铺平之后就近似于一个长方形,
长为2πr (红色圆的周长),高为dl=Rdφ

当然因为dl很小,或者说dφ很小,所以近似把蓝色的圆的半径也看成r,这样展开的就是一个长方形