将函数f（x）=ln（2+x）展开成x的幂级数，并指出收敛区间．

Question

将函数f（x）=ln（2+x）展开成x的幂级数，并指出收敛区间．

Answer 1

由于(1)/(1+x)＝

∞

n＝0

(−1)nxn（-1＜x＜1），因此
(1)/(2+x)＝(1)/(2)(1)/(1+(x)/(2))=(1)/(2)

∞

n＝0

(−(1)/(2))nxn，（-2＜x＜2）
∴两边积分得
f(x)＝ln(2+x)＝(1)/(2)

∞

n＝0

(−(1)/(2))n

∫

x 0

xndx+1=

∞

n＝0

(−1)n(xn+1)/((n+1)2n+1)，（-2＜x≤2）