已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w＝.z0•.z，|w|=2|z|．（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：（Ⅱ）将（x、y

Question

已知复数z₀=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w＝

.

z0

•

.

z

，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：
（Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(√(3)，2)，试求点P的坐标；
（Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．

Answer 1

（I）由题设得，|w|＝|

.

z0

•

.

z

|＝|z0||z|＝2|z|，∴|z₀|=2，
由1+m2＝4，且m＞0，得m＝√(3)，∴z₀=1−√(3)i，
∵w＝

.

z0

•

.

z

，
∴x′+y′i＝

.

(1−√(3)i)

•

.

(x+yi)

)=(1+√(3)i)(x−yi)=x+√(3)y+(√(3)x−y)i，
由复数相等得，

x′＝x+√(3)y

y′＝√(3)x−y

，
（Ⅱ）由（I）和题意得，

x+√(3)y＝√(3)

√(3)x−y＝2

，解得

x＝(3)/(4)√(3)

y＝(1)/(4)  

，
即P点的坐标为((3)/(4)√(3)，(1)/(4))．                 
（Ⅲ）∵直线y=kx上的任意点P（x，y），
其经变换后的点Q(x+√(3)y，√(3)x−y)仍在该直线上，
∴√(3)x−y＝k(x+√(3)y)，
即(√(3)k+1)y＝(√(3)−k)x
∵当k=0时，y=0，y＝√(3)x不是同一条直线，
∴k≠0，
于是(√(3)k+1)/(1)＝(√(3)−k)/(k)，
即√(3)k2+2k−√(3)＝0，
解得k＝(√(3))/(3)或k＝−√(3)