观察下列等式：1×2分之1=1-2分之1,2×3分之1=2分之1-3分之1,3×4分之1=3分之1-4分之1,将以上三个等式的两边分别相加得：1×2分之1+2×3分之1+3×4分之1=1-2分之1+2分之1-3分之1+3分之1-4分

Question

观察下列等式：
1×2分之1=1 - 2分之1,2×3分之1=2分之1 - 3分之1,3×4分之1=3分之1 - 4分之1,将以上三个等式的两边分别相加得：1×2分之1 + 2×3分之1 + 3×4分之1=1 - 2分之1 + 2分之1 - 3分之1 + 3分之1 - 4分之1=1 - 4分之1=4分之3.
（1）n（n+1）分之1 =
（2）1×2分之1 + 2×3分之1 + 3×4分之1 +.+ 2009×2010分之1=?
（3）1×2分之1 + 2×3分之1 + 3×4分之1 + .+ n（n+1）分之1=?
（4）2×4分之1 + 4×6分之1 + 6×8分之1 + .+ 2008×2010分之1=?

Answer 1

你的题是这个意思吧,
1/(1*2)= 1-1/2
1/(2*3)=1/2 – 1/3
1/(3*4)=1/3 – 1/4
1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) = 1 – 1/4
(1) 1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)
(2) 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + …… + 1/（2009*2010）
= 1-1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + …… + 1/2008 -1/2009 + 1/2009 – 1/2010
= 1- 1/2010
= 2009/2010
(3) 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + …… + 1/n*（n+1）
= 1 -1/(n+1)
= n/(n+1)
(4) 每个分母里拆分出因数2,则
1/(2*4) + 1/(4*6) + 1/(6*8) + …… + 1/(2008*2010)
= 1/[2*(1*2)] + 1/[2*(2*3)] + 1/[2*(3*4)] + …… + 1/[2*(1004*1005)]
= 1/2 * [1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + …… + 1/(1004*1005)]
= 1/2 * [ 1- 1/1005]
= 1/2 * 1004/1005
= 502/1005