如图，已知二次函数y=-x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴

Question

如图，已知二次函数y=-x²+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴

0＝−9+3b+c

3＝c

，
解得

b＝2

c＝3

1分
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，M（1，4）
设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有

4＝k+n

0＝3k+n

解得

k＝−2

n＝6

∴直线MB的解析式为y=-2x+6
∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为（m，-2m+6）
S_{四边形ACPQ}=S_△AOC+S_梯形PQOC=(1)/(2)AO•CO+(1)/(2)（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3）
=(1)/(2)×1×3+(1)/(2)（-2m+6+3）•m=-m²+(9)/(2)m+(3)/(2)；

（3）线段BM上存在点N（(7)/(5)，(16)/(5)），（2，2），（1+(√(10))/(5)，4-(2√(10))/(5)）使△NMC为等腰三角形
CM=√((1−0)2+(4−3)2)＝√(2)，CN=√(x2+(−2x+3)2)，MN=√((x−1)2+(−2x+2)2)
①当CM=NC时，√(x2+(−2x+3)2)＝√(2)，
解得x₁=(7)/(5)，x₂=1（舍去）
此时N（(7)/(5)，(16)/(5)）
②当CM=MN时，√((x−1)2+(−2x+2)2)＝√(2)，
解得x₁=1+(√(10))/(5)，x₂=1-(√(10))/(5)（舍去），
此时N（1+(√(10))/(5)，4-(2√(10))/(5)）
③当CN=MN时，√(x2+(−2x+3)2)=√((x−1)2+(−2x+2)2)
解得x=2，此时N（2，2）．