已知，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝2．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、

Question

已知，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝√(2)．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．

（1）如图，当点F在射线CA上时，
①求证：PF=PE．
②设CF=x，EG=y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．
（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．

Answer 1

（1）
①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PM=PN．
由∠PMC=∠MCN=∠CNP=90°，得∠MPN=90°．
∴∠1+∠FPN=90°．
∵∠2+∠FPN=90°，
∴∠1=∠2．
∴△PMF≌△PNE．
∴PF=PE．
②
∵CP=√(2)，
∴CN=CM=1．
∵△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=1-x．
∴CE=2-x．
∵CF∥PN，
∴△GCF∽△GNP，
∴(CF)/(PN)=(CG)/(GN)．
∴CG=(x)/(1-x)．
∴y=(x)/(1-x)+2-x（0≤x<1）．
（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：
①当点F在射线CA上时，
∵∠GPE=∠FCE=90°，∠1≠∠PEG，
∴∠G=∠1．
∴FG=FE．
∴CG=CE．
在Rt△EGP中，EG=2CP=2√(2)．
②当点F在AC延长线上时，
∵∠GPE=∠FCE=90°，∠1≠∠2，
∴∠3=∠2．
∵∠1=45°+∠5，∠1=45°+∠2，
∴∠5=∠2．
易证∠3=∠4，可得∠5=∠4．
∴FC=CP=√(2)．
∴FM=1+√(2)．
易证△PMF≌△PNE，
可得EN=1+√(2)．
∵CF∥PN，
∴(CF)/(PN)=(CG)/(GN)．
∴GN=√(2)-1．
∴EG=2√(2)．