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如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.(1)①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系

题目详情
如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.
(1)①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系,不必证明;
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α,得到如图2情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断.

(2)将原题中正方形改为矩形(如图3、4),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图4为例简要说明理由.

(3)在第(2)题图4中,连接DG、BE,且a=3,b=2,k=
1
2
,求BE2+DG2的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)①BG⊥DE,BG=DE;
②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCG=∠DCE,
∴△BCG≌△DCE,
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,
又∵∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHG=90°,
∴BG⊥DE.
(2)∵AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,
BC
DC
CG
CE
=
b
a

又∵∠BCG=∠DCE,
∴△BCG∽△DCE,
∴∠CBG=∠CDE,
又∵∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHG=90°,
∴BG⊥DE.
(3)连接BE、DG.
根据题意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,
∵BG⊥DE,∠BCD=∠ECG=90°
∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.