在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE．（1）请你在图1画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究∠ABF与∠CBE的数量关系并证明；

Question

在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE．
（1）请你在图1画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；
（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究∠ABF与∠CBE的数量关系并证明；
（3）在（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE<DE，请写出求cos∠FED的思路．（可以不写出计算结果）．

Answer 1

（1）补全图形，如图1所示，

∠ABF与∠CBE的数量关系为：∠ABF+CBE=45°，
证明：如图2，

连接BF，EF，延长DC到G，使CG=AF，连接BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∴△BAF≌△BCG，
∴BF=BG，∠ABF=∠CBG，
∵AF+CE=EF，
∴EF=GE，
∴△BEF≌△BEG，
∴∠FBE=∠GBE=∠ABF+∠CBE，
∴∠ABF+∠CBE=45°．
（3） 设正方形的边长为3a，AF=x，
∵点E是CD三等分点
∴EF=CG+CE=x+a，DE=2a，DF=3a-x，
在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²，
∴（x+a）²=（3a-x）²+（2a）²，
∴x=(3)/(2)a，
∴EF=x+a=(3)/(2)a+a=(5)/(2)，
∴cos∠FED=(DE)/(EF)=(2a)/((5)/(2)a)=(4)/(5)．