在n重伯努利试验中，若每次试验成功的概率为p，则成功次数是奇数次的概率为．

Question

在n重伯努利试验中，若每次试验成功的概率为p，则成功次数是奇数次的概率为___．

Answer 1

设成功次数为随机变量X，则P(X=k)=

C

k n

pkqn-k（k=0，1，2，…，n），其中q=1-p
∴设成功次数是偶数次的概率为Y，则
Y=

C

0 n

qn+

C

2 n

p2qn-2+…
∴成功次数是奇数次的概率为1-Y
由于(q+p)n=

C

0 n

qn+

C

1 n

pqn-1+

C

2 n

p2qn-2+…+

C

n n

pn，
(q-p)n=

C

0 n

qn-

C

1 n

pqn-1+

C

2 n

p2qn-2-…+

C

n n

pn，
∴2Y=（q+p）ⁿ+（q-p）ⁿ=1+（q-p）ⁿ
∴1-Y=1-(1)/(2)[1+(q-p)n]=(1)/(2)[1-(1-2p)n]