求证:空间中两条异面直线有且只有一条公垂线!即已知:直线a和直线b为异面直线求证:它们有且只有一条公垂线我问过很多同学和老师他们都写不出来...注意证明公垂线的存在性和唯一性!

Question

求证:空间中两条异面直线有且只有一条公垂线!
即已知:直线a和直线b为异面直线
求证:它们有且只有一条公垂线
我问过很多同学和老师他们都写不出来...注意证明公垂线的存在性和唯一性!

Answer 1

存在性证明
过直线b作平面A平行于a，将a向A投影得a'交b于点p
过点p作直线c垂直于A
∵c⊥A
∴c⊥b且c⊥a'
∵a‖a'且c∩a'=p
∴c⊥a=p'
则c即为a,b公垂线
唯一性证明
假设公垂线不唯一，过b上任一点m作公垂线交a于n
∵mn⊥a a‖a'
∴mn⊥a'
又∵mn⊥b
∴mn⊥A
∵mn∩a=n且mn⊥a'
∴mn∩a'=n'
过平面外一点有且只有一条直线垂直于平面
∴m=n'=p(三点重合)
得过点p有两条直线与A垂直,与定理(过平面上一点有且只有一条直线垂直于平面)矛盾,故假设不成立.唯一性得证.
(好久不证了,有点生.有什么不对的你还得自己改改)