已知F1、F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是（）A.[23，1）B.[13，22]C.[13，1）D.（

Question

已知F₁、F₂分别是椭圆C：

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF₁的中垂线恰好过焦点F₂，则椭圆C离心率的取值范围是（　　）

A. [

(2)/(3)，1）

B. [

(1)/(3)，(√(2))/(2)]

C. [

(1)/(3)，1）

D. （0，

(1)/(3)]

Answer 1

设P（x₀，y₀），则(x20)/(a2)+(y20)/(b2)=1．
则线段PF₁的中点M((x0-c)/(2)，(y0)/(2))．
∵线段PF₁的中垂线恰好过焦点F₂，
∴kPF1kF2M=(y0)/(x0+c)•((y0)/(2)-0)/((x0-c)/(2)-c)=-1，
化为：(y20)/((x0+c)(x0-3c))=-1，
∴b2(1-(x20)/(a2))+（x₀+c）（x₀-3c）=0，
化为：c2

x

2 0

-2a²cx₀+b²a²-3a²c²=0，
解得x₀=(a2-2ac)/(c)，
由于-a≤x₀≤a，
∴-a≤(a2-2ac)/(c)≤a，又0<e<1，
解得(1)/(3)≤e≤1．
故选：C．